Родился 1 апреля 1947 года в Днепропетровске. Уже в пятилетнем возрасте у мальчика проявились музыкальные способности: он сам научился играть на аккордеоне и на слух подбирал все известные мелодии.
Музыкальное образование Анатолий продолжил в Днепропетровском музыкальном училище имени Глинки. Служба в армии тоже не прошла даром для будущего композитора: два года он провел в Ансамбле песни и пляски МВД Украины и Молдавии в Киеве, а попутно посещал занятия в киевской консерватории.
Сразу по возвращении из армиии Анатолий Днепров создал джаз-банд — первый в городе. Группа стала столь популярна, что музыкантов стали приглашать на концерты всесоюзного значения. Уже в 1971 году Анатолий Днепров переезжает в Москву, где начинается его работа с самыми известными исполнителями того времени: Иосифом Кобзоном, Нани Брегвадзе, ансамблями "Поющие сердца", "Веселые ребята" "Самоцветы", "Пламя", Синяя птица".
Любая песня, написанная Днепровым, мгновенно становилась хитом. Такие песни, как «Целый мир» (стихи П. Леонидова), «Облака в реке» ( стихи И. Кохонровского), «Я не забуду это лето», «17 лет» ( стихи В. Харитонова), « Россия» (стихи О. Павловой) — до сих пор помнят и любят многие.
Затем, в 1979 году Анатолий уезжает в Нью-Йорк. Пишет песни на английском и русском, работает в ночных клубах, гастролирует по США и Канаде. Песни "Радовать" на стихи Михаила Танича, «Признание с поручиком Голицыным», «Россия» на стихи О.Павловой, «Звёзды на лугу» на стихи П. Леонидова становятся популярными в русской эмиграции, а через некоторое время и в СССР.
Но в США Анатолий пробыл недолго: уже в 1987 году композитор возвращается в Москву. Как он сам потом признавался: "замучила ностальгия".
В 1989 году он стал лауреатом фестиваля « Песня Года», и с тех пор певец гастролировал с сольными концертами по всей стране и выпускал диски.
Скончался по дороге в Ростов-на-Дону 5 мая 2008 года, где у него должен был состояться концерт. В 50 км от Каменска-Шахтинского 61-летнему Днепрову резко стало плохо. Видимо, остановилось сердце.